Passer d'une seule équation $f(x)=0$ à un système multivariable est la porte d'entrée vers la résolution de problèmes ingénierie complexes, allant de la mécanique orbitale à l'analyse structurale des sols. Nous ne cherchons plus un simple zéro sur une droite, mais l'intersection simultanée de $n$ hypersurfaces dans un espace à $n$ dimensions.
1. La structure mathématique
Un système non linéaire est représenté par un ensemble d'équations où chaque fonction composante dépend d'un vecteur d'inconnues $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^t$ :
$$f_1(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$f_2(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$\vdots$$ $$f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$
Nous condensons cela sous la forme vectorielle : formule clé
$$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$$
où $\mathbf{F} = (f_1, f_2, \dots, f_n)^t$. Les fonctions individuelles $f_i$ sont désignées comme les fonctions coordonnées de $\mathbf{F}$.
2. Fondements analytiques et continuité
Pour résoudre ces systèmes numériquement, nous devons nous assurer que l'application est bien comportée. Les définitions 10.1 à 10.3 établissent que les limites et la continuité dans $\mathbb{R}^n$ sont déterminées composante par composante.
Soit $\mathbf{F}$ une fonction définie sur $D \subset \mathbb{R}^n$ et à valeurs dans $\mathbb{R}^n$. On dit que $\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} \mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{L} = (L_1, L_2, \dots, L_n)^t$ si et seulement si :
$$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} f_i(\mathbf{x}) = L_i$$ pour chaque $i=1, \dots, n$.
En utilisant la définition $\epsilon-\delta$ : pour tout $\epsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $\|\mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{L}\| < \epsilon$ dès que $0 < \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta$.
3. Rappel théorique
Théorème 1.6 : Pour les fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, la continuité peut souvent être établie en montrant la différentiabilité. Dans le cas multivariable, si les dérivées partielles des fonctions coordonnées existent et sont bornées, la continuité est assurée, ce qui constitue une condition préalable aux solveurs itératifs.
Exemple classique : Exemple 1
Considérons le problème des plaques circulaires dans le sol. Mettons le système non linéaire $3 \times 3$ sous la forme standard $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$ :
- $3x_1 - \cos(x_2 x_3) - \frac{1}{2} = 0$
- $x_1^2 - 81(x_2 + 0.1)^2 + \sin x_3 + 1.06 = 0$
- $e^{-x_1 x_2} + 20x_3 + \frac{10\pi - 3}{3} = 0$
Ici, $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^t$ et $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), f_3(\mathbf{x}))^t$.